Los Fundamentos: Componentes y Columnas
Un vector $v = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix}$ está definido por sus componentes; $v_1$ es la primera componente (a menudo desplazamiento horizontal) y $v_2$ es la segunda (vertical). Esta orientación vertical no es solo estética; es un requisito previo para la multiplicación matriz-vector que define el cómputo moderno.
Un escalar es simplemente un número. Cuando calculas $2v$, multiplicas cada componente: $2 \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2v_1 \\ 2v_2 \end{bmatrix}$. Los escalares negativos, como $-1$, invierten la dirección del vector.
La suma de vectores se realiza componente a componente: $v + w = \begin{bmatrix} v_1 + w_1 \\ v_2 + w_2 \end{bmatrix}$. Geométricamente, esto sigue la regla "punta-a-cola", donde seguir un vector después de otro da como resultado la suma.
La Combinación Lineal: $cv + dw$
Esta es la construcción más importante del álgebra lineal. Representa la capacidad de alcanzar cualquier punto en el espacio al escalar y sumar nuestros vectores base. Por ejemplo:
$$c \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} + d \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} c + 2d \\ c + 3d \end{bmatrix}$$
Si establecemos $c=1$ y $d=1$, obtenemos la suma $v + w = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$. Si establecemos $c=0$ y $d=0$, alcanzamos el Vector Cero: $\mathbf{0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}$. Tenga en cuenta que el vector $\mathbf{0}$ es distinto del escalar $0$; es el origen de nuestro sistema de coordenadas.